Unity3D for VR 学习(6): 再次温故知新-3D数学
2016年02月16日 12:09
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更新于 2025-11-21 19:50
一年前，我系统学习过 3D 数学，并记录了一篇博客《C# 程序员整理的 Unity 3D 笔记（十）：Unity3D 的位移、旋转的 3D 数学模型》。如今一年过去，我决定再次温习相关知识。
坐标系
Unity3D 使用左手笛卡尔坐标系（Descartes coordinate system），主要包含以下几种坐标系：
- 世界坐标系（world space）：在一个游戏场景中，世界坐标系是唯一的，它为整个场景提供了一个统一的参考框架。
- 物体坐标系（局部坐标系，localObject space）：每个物体都有各自独立的坐标系。例如，在桌子的物体坐标系中，扶手相对于桌子腿的位置可以通过该坐标系来描述。有时候，使用物体坐标系可以避免对外暴露过多细节。
- 摄像机坐标系：这是一种特殊的物体坐标系，用于定义物体是否在摄像机的视野范围内，即确定哪些物体会被摄像机绘制出来。
- 惯性坐标系 (Intertial)：这是一个“临时”坐标系，引入它是为了方便从世界坐标系到物体坐标系的转换。其原点与物体坐标系重合，坐标轴平行于世界坐标系。
Unity3D 提供的坐标系转换工具
1. RectTransformUtility
Vector2 WorldToScreenPoint(Camera cam, Vector3 worldPoint)：该方法用于将世界坐标转换为屏幕坐标。Ray ScreenPointToRay(Camera cam, Vector2 screenPos)：此方法根据屏幕上的点生成一条射线。
2. 《Unity3D 项目实战笔记（1）：prefab 的插件方式》中的坐标转换应用
下面的代码展示了如何实现动态定位。假设要将 a.prefab 加载到 A 的子节点下面，并使其显示在 b 点位置，有两种方法：一种是把 a 挂接到 B 下；另一种是使用 transform 提供的两个方法，将局部坐标转换为世界坐标。
Vector3 pos = A.transform.TransformPoint(a.localPosition);
b.localPosition = B.transform.InverseTransformPoint(pos);
向量（Vector）
向量具有大小和方向，但没有位置。任意一点都可以从原点开始用向量来表示，这也是点和向量容易让初学者混淆的地方。由于向量与位置无关，所以它可以在坐标系中的任何地方使用。向量有以下几种常见运算：
- 向量数乘：通过标量和向量相乘，可以实现力的系数调节。
- 向量标准化：将向量的大小变为 1，标准化后的向量也称为“法线”。
- 负向量：与原向量大小相等，但方向相反。
- 向量加法：向量
a和向量b首尾相连，从a的尾到b的头的向量即为它们的和。 - 向量减法：其原理与向量加法类似。
- 向量点乘（内积）：结果为标量，用于描述两个向量的“相似”程度。点乘结果越大，两个向量越接近。具体来说：
- 当
a·b > 0时，两向量夹角在[0, 90°)范围内，方向大致相同。 - 当
a·b = 0时，两向量夹角为90°，即向量正交。 - 当
a·b < 0时，两向量夹角在(90°, 180°]范围内，方向相反。 - 向量叉乘（叉积）：结果为一个垂直于原来两个向量的向量。
矩阵（Matrix）
这里主要讨论 22、33、4*4 的方阵。DirectX 使用行向量，而 OpenGL 使用列向量，方阵的行可以被解释为基向量。
- 线性变换与仿射变换：线性变换保持直线和平行线，且原点位置不会发生改变；仿射变换是在线性变换的基础上再进行平移操作。
- 矩阵的行列式：矩阵的行列式结果为一个标量。
- 正交矩阵：如果矩阵是正交的，那么它与自己的转置矩阵相乘，结果为单位矩阵。由此可知，正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
- 投影变换：
- 正交投影（降维操作）：也称作平行投影，例如将 3D 场景投影到 2D 屏幕上，这个投影平面就是我们看到的屏幕。
- 透视投影：投影线不再平行，而是相交于一点——投影中心，类似“小孔成像”，投影出来的图像是倒着的。
方位表示方法
- 欧拉角：使用三个角度来保存方位，分别是 heading（绕 Y 轴旋转，取值范围为 (-180°, 180°)）、pitch（绕 X 轴旋转，取值范围为 (-90°, 90°)）和 bank（绕 Z 轴旋转，取值范围为 (-180°, 180°)）。
- 四元数（Quation）：用 4 个数字来表达方位，它避免了欧拉角存在的“万向锁”和 Slerp 球形差值问题。
参考书籍
- 《3D 数学基础:图形与游戏开发》
- 《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》
关于 VR 设备的体验
最后，我想分享一下对 VR 设备的体验。暴风魔镜 4 搭配小米 Note 顶配 2K 屏具有里程碑意义，其分辨率和陀螺仪表现都很不错，我可以连续玩 VR 超过 20 分钟。相比之下，千元机魅蓝 Note 2 在 VR 体验方面表现不佳。所以，如果要玩 VR，建议远离千元机。
展望 VR 的未来，它或许能弥补一些小小的遗憾。比如 5 年前，我多次出差到哈尔滨，当时很想去冰雪大世界看看，但由于畏惧 -35° 的寒冷天气而未能成行。如果未来能通过 VR 实现远程观看，那将再好不过了。