“为什么DirectX里表示三维坐标要建一个4*4的矩阵？”

前言

本文标题源自知乎上的同名问题：为什么DirectX里表示三维坐标要建一个4*4的矩阵？ - 编程。正如Milo Yip大神所说，这个标题存在问题，矩阵的作用是表示变换，而非坐标。在了解矩阵的作用后，我们需要思考为何变换要使用4×4的矩阵，而非3×3的矩阵，这是否多此一举？下面我们来深入探讨这个话题。

怎么平移一个三维空间中的点

在三维空间中平移一个点，方法很简单，只需将该点坐标的每个分量（x, y, z）与对应轴上的平移距离相加。

例如，点p1(x1, y1, z1)在X轴、Y轴以及Z轴上分别平移Δx、Δy、Δz后到达新的点p2(x2, y2, z2)，则可通过以下公式确定p2的坐标：

x2 = x1 + Δx
y2 = y1 + Δy
z2 = z1 + Δz

接下来，我们看看另一种变换：旋转。

再来旋转一个点

旋转相较于平移更为复杂，描述一个旋转需要明确以下几个方面：旋转轴、旋转方向和旋转角度。

这里假设点p需要绕Z轴顺时针旋转β度。

设点P1(x1, y1, z1)绕Z轴顺时针旋转β度后到达点P2(x2, y2, z2)。假设原点到P1的距离为L，且P1和Y轴之间的夹角为α，根据三角函数公式可得P1点的坐标：

x1 = L·sinα
y1 = L·cosα

由于是绕Z轴旋转，z坐标不变，暂不考虑。

同样根据三角函数公式，可计算出P2的坐标：

x2 = L·sin(α + β)
y2 = L·cos(α + β)

回忆中学几何数学中两角和与差的公式：

cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ

结合P1的坐标表示形式，可将P2的坐标变换形式：

x2 = L·(sinα·cosβ + cosα·sinβ) = cosβ·x1 + sinβ·y1
y2 = L·(cosα·cosβ - sinα·sinβ) = cosβ·y1 - sinβ·x1
z2 = z1

由此，已知P1点坐标和旋转角度β，就可根据上述公式求出P2点坐标的各个分量。结合上一小节平移点的公式，似乎不使用矩阵，仅通过两组表达式就能实现坐标变换。但实际情况并非如此简单。

带来便捷的矩阵

理论上，通过数学公式可以实现坐标变换。然而，当变换较为复杂时，直接使用数学表达式进行运算会非常繁琐。因此，在实际应用中，常使用矩阵（由m × n个标量组成的长方形数组）来表示平移、旋转和缩放等线性变换。

两个变换矩阵A和B的积P = AB，变换矩阵P相当于A和B所代表的变换。例如，若A为旋转矩阵，B为平移矩阵，则矩阵P可实现旋转和平移变换。需注意，矩阵乘法不符合交换律，即AB和BA不相等。

我们仍未解答为何三维空间需要4×4矩阵来实现变换，下面分别看看3×3矩阵和4×4矩阵的使用情况。

3×3矩阵和旋转

先看一个矩阵乘以三维矢量的算式，矩阵为3×3矩阵，右侧是点P1的坐标，左侧是点P2的坐标。根据表达式可求出x2、y2、z2的值：

x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1

将旋转表达式与该矩阵等式对比：

x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
x2 = cosβ·x1 + sinβ·y1
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
y2 = cosβ·y1 - sinβ·x1
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1
z2 = z1

通过对比可得：a = cosβ，b = sinβ，c = 0；d = -sinβ，e = cosβ，f = 0；g = 0，h = 0，i = 1。

这表明，通过这个3×3的变换矩阵，可实现三维空间的旋转变换。那为何还需要4×4矩阵呢？

搞不定的平移，4×4矩阵来救场

我们已用3×3矩阵实现了旋转变换，若它是完美的变换解决方案，应也适用于其他变换，如平移。下面通过对比矩阵等式和数学表达式来探究它是否能满足平移需求。

x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1
x2 = x1 + Δx
y2 = d·x1 + e·y1 + f·z1
y2 = y1 + Δy
z2 = g·x1 + h·y1 + i·z1
z2 = z1 + Δz

对比发现，平移表达式中带有常量Δx，而旋转表达式和矩阵等式中都没有与之对应的常量。因此，无法用3×3矩阵表示平移，需使用4×4矩阵。但新问题随之而来，三维坐标如何与4×4矩阵相乘？

齐次坐标

为解决三维矢量和4×4矩阵相乘的问题，我们为三维矢量添加了第四个分量，使三维矢量(x, y, z)变为四维的(x, y, z, w)，这种由4个分量组成的矢量称为齐次坐标。

齐次坐标(x, y, z, w)等价于三维坐标(x/w, y/w, z/w)，当w分量的值为1时，该齐次坐标可当作三维坐标使用，其所表示的坐标就是以x、y、z为坐标值的点。

为与4×4矩阵相乘，P1点坐标变为(x1, y1, z1, 1)，矩阵等式变为：

x2 = a·x1 + b·y1 + c·z1 + d
x2 = x1 + Δx
y2 = e·x1 + f·y1 + g·z1 + h
y2 = y1 + Δy
z2 = i·x1 + j·y1 + k·z1 + l
z2 = z1 + Δz
1 = m·x1 + n·y1 + o·z1 + p

通过对比可得：a = 1，b = 0，c = 0，d = Δx；e = 0，f = 1，g = 0，h = Δy；i = 0，j = 0，k = 1，l = Δz；m = 0，n = 0，o = 0，p = 1。

这样，我们就得到了4×4的平移矩阵。

总结

在介绍矩阵乘法时提到，两个变换矩阵A和B的积P = AB，相当于A和B所代表的变换。在游戏编程中，常需将一连串的变换预先计算为单一矩阵，因此不能同时存在3×3矩阵和4×4矩阵。将3×3矩阵拓展为4×4矩阵相对容易，通过一个4×4矩阵可整合平移矩阵和旋转矩阵。